可导,连续,可微之间的关系

可导必连续，连续不一定可导，可微必连续且可导。
简单说就是：

• 能导函数，曲线平滑；
• 曲线平滑，不一定能导；
• 能微函数，更平滑，一定可导。
  我自己也还在验证，经验是这样。你自己掂量。

记得有一次，我在图书馆里翻阅一本数学书，突然看到了一个例子，那是一个关于函数连续、可导和可微之间关系的典型问题。当时我就在想，这三种性质在数学中看似相似，但实际上有着微妙的区别。
我记得那是2015年的一个下午，我坐在图书馆的角落里，旁边是一杯已经喝了一半的咖啡。那时候，书上的例子是这样的：一个函数在某点连续，意味着这个点的函数值和极限值相等。而可导，则是指在这个点附近，函数的图形可以无限接近一条直线，这个直线的斜率就是导数。至于可微，它要求函数在某点的导数存在，并且可以在这个点处展开成泰勒级数。
等等，我突然想到，我在大学的时候，曾经和室友争论过这个问题。他说可导一定连续，但我当时认为这不一定对。现在想想，确实，可导确实意味着连续，但连续不一定可导。比如说，函数f(x) = |x|在x=0处连续，但在那里不可导。
那可微呢？我记得那时候我查阅了很多资料，发现可微是可导的另一种说法，只不过它强调的是函数在某点的导数存在，并且可以展开成泰勒级数。
那三种性质，看似复杂，但背后其实有着深刻的数学原理。比如说，一个函数在某点连续，那么这个点的导数一定存在，但导数存在并不意味着连续。这就像一个人，看起来很聪明，但不一定有爱心一样。
说到底，数学的世界真是充满了奇妙和挑战。那，可导、连续、可微之间的关系，你理解了吗？

可导必连续，连续不一定可导，可微必连续且可导。
这就是坑，别信连续函数就一定可导。
可微函数的导数存在，这就是坑，别这么干，误以为所有连续函数都必然可导。
实操提醒：检查函数的连续性和可导性时，先看定义域，再看导数是否存在。