焦点三角形面积公式抛物线

三角形面积公式：1/2 底 高 抛物线焦点到顶点的距离：p 焦点三角形面积：1/2 p p

焦点三角形面积公式：S = (1/2) (2a) (b^2) 大白话：就是用焦点到准线的距离乘以抛物线顶点到焦点的距离再除以2。
我也还在验证，但经验是这样。

上周有个客人问我，焦点三角形面积公式和抛物线有什么关系。我当时就蒙了，因为我觉得这两者之间应该是独立的。不过后来我查了一下资料，发现还真的有点关联。
2023年我在上海某商场看到一本数学书，里面提到，对于标准的抛物线 (y^2 = 4ax)（开口向右），焦点 (F(a, 0)) 和抛物线上的两点 (A(x_1, y_1)) 和 (B(x_2, y2)) 形成的三角形 (ABF)，它的面积有一个特定的公式。这个公式是：
[ S{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot BF \cdot \sin(\angle ABF) ]
这里 (AF) 和 (BF) 分别是点 (A) 和 (B) 到焦点 (F) 的距离，(\angle ABF) 是三角形 (ABF) 的顶角。
然后我还在想，这个公式是不是只在特定条件下成立？比如说，当 (A) 和 (B) 都在抛物线的同一侧，或者当 (A) 和 (B) 是抛物线的对称点时。反正你看着办，我还在想这个问题。