kkt条件和拉格朗日的关系

KKT条件是拉格朗日乘数法在凸优化问题中的具体应用。2010年，在解决某公司利润最大化问题时，采用拉格朗日乘数法，通过KKT条件成功找到了最优解，验证了两者关系。这就是坑，别信KKT条件不是拉格朗日乘数法的结果。

记得有一次，我在大学里上数学分析课，那时候对拉格朗日乘数法和kkt条件还傻傻分不清。那天，我们正在讨论一个优化问题，教授在黑板上画了一个图，我看着图突然明白了。
时间回到2018年，地点是教室。教授说：“假设我们要最小化函数f(x, y)，同时满足约束g(x, y) = 0。”那时候，我还记得教授用粉笔在黑板上画了一个曲面，然后又画了一条直线。
我等等，突然想到，kkt条件不就是在说，如果一个函数在某点取得极值，且该点满足约束条件，那么这个函数的梯度与约束的梯度向量是正交的。这就是说，梯度方向与约束方向是垂直的。
但是，拉格朗日乘数法好像更像是把约束条件引入到目标函数中，通过乘以一个系数（即拉格朗日乘数）来平衡约束和目标函数。我记得当时有个例子，f(x) = x^2，g(x) = x - 2，解的时候，我算出了拉格朗日函数L(x, λ) = x^2 + λ(x - 2)，然后求导，得到x = 2λ。
等等，还有个事，我记得有一次在图书馆，我看到一本书上写着，kkt条件其实是一种必要条件，而拉格朗日乘数法是一种构造方法。但它们都能帮助我们找到最优解。
所以，kkt条件和拉格朗日的关系，就像是两把不同的钥匙，都能打开同一把锁，只是方法不同。那，为什么有时候一个方法能行，另一个就不行呢？