函数连续就可导么

这是坑，函数连续不一定可导，例如$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但不可导。
别信“连续必可导”的说法，别这么干，直接检查导数定义。
实操提醒：用导数定义检查，看是否存在左右导数不相等的情况。

记得有一次，我在大学里上微积分课，那时候天气正好是初秋，校园里的银杏叶黄得正好。我那时候在做一道题，题目是证明一个函数在某点连续，然后问我们这个函数在该点是否可导。我盯着那个函数看了半天，突然想到，连续和可导之间，是不是总有一道鸿沟呢？
我查了资料，发现确实不是所有的连续函数都可在导。比如，那个著名的“Weierstrass函数”，它就是一个连续但不可导的例子。我在图书馆里翻到了一本关于数学分析的教材，上面写着：19世纪末，德国数学家Weierstrass构造了一个处处连续但不可导的函数。
那么，连续和可导之间，究竟是怎样的关系呢？是不是每个连续的函数，都藏着导数的秘密呢？等等，还有个事，我突然想到，如果连续函数在某点不可导，那它的导数是不是就等于无穷大呢？