常见极限的等价代换公式

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
5. $\lim_{x \to \infty} \frac{a^n}{b^n} = 1$ (当 $a > b$ 且 $n \to \infty$)
6. $\lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{a}{c}$ (当 $c \neq 0$)
7. $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} = n$

洛必达法则：求导后极限不变，例如 $\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
等价无穷小替换：$\lim{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} = 1$。
三角函数极限：$\lim{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
指数函数极限：$\lim{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$。
对数函数极限：$\lim{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$。
复合函数极限：$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
实操提醒：牢记常用极限公式，避免在计算中出错。