可导与可微和连续的关系

可导必连续，但连续不一定可导。 例如：函数f(x) = |x|在x=0处连续，但不可导。 这就是坑，别信连续就等于可导。

这个问题有点意思。上周有个客人问我，可导、可微和连续这三个概念在数学里到底是个啥关系。我自己踩过的坑是，一开始我也觉得它们差不多，但其实它们之间还是有挺大区别的。
先说连续，这就像你平时看到的曲线，比如说心电图，它就是连续的。数学上讲，一个函数在某点连续，就是那个点的函数值存在，并且左右极限都等于这个点的函数值。简单来说，就是曲线没有断点。
然后是可微，这比连续要严格多了。一个函数在某点可微，就意味着这个点附近的曲线可以画出一个切线，而且这个切线斜率存在。这就相当于说，曲线在这一点是平滑的，没有尖锐的拐角。
最后是可导，这个概念有点像可微，但又不完全一样。一个函数在某点可导，就表示它在那个点存在导数。不过，可导的函数不一定连续，但连续的函数一定可微。也就是说，可微是可导的加强版。
举个例子，函数 ( f(x) = |x| ) 在 ( x = 0 ) 处是连续的，因为左右极限都等于0。但是，它在这个点不可微，因为曲线在这里有个尖角，没有切线。所以，虽然连续是必要条件，但不是充分条件。
总结一下，连续是最基本的要求，可微比连续要求更严格，可导则是在可微的基础上，对导数存在性做了更具体的要求。反正你看着办，数学这东西，还是得多实践才能明白。我还在想这个问题，哈哈。