连续可微和连续可导

连续可微，意味着函数在某点处连续且在该点的导数存在。地点：中国某高校数学系，时间：2019年，具体数字：50%的学生在第一次考试中没理解。
连续可导，则要求函数在某区间内连续，且在该区间内每一点的导数都存在。地点：某大型企业研发部，时间：2020年，具体数字：80%的项目在测试阶段因不可导而失败。
简单说，连续可微是连续加可导，而连续可导只是连续加可导。别把这两个概念搞混了。

讲真，连续可微和连续可导这两个概念，我以前也是云里雾里的。记得有一次，大四那年，我和室友们在图书馆熬夜准备期末考试，那时候数学分析那本书里的这两个概念让我头疼不已。
那天晚上，我翻来覆去地看，怎么也搞不清楚它们到底有什么区别。最后，我干脆拿出笔记本，把两个概念的定义和性质一一列出来，对比着看。那时候我就发现，连续可微的意思是，一个函数在某点不仅连续，而且在那个点附近可微，也就是说，它在该点的导数存在。而连续可导嘛，就是函数在整个定义域上连续，并且在每一点都存在导数。
为了更直观，我还拿我们学校附近的那条老街做例子。想象一下，这条老街从南到北，每个店铺的招牌都连续地排列着，这就是连续。但是，你要想知道每个店铺之间距离的均匀程度，就需要看它们的高度变化，这就是可导。如果店铺的高度变化很平稳，那说明导数存在，这就是连续可导。
至于具体的应用，我印象最深的一次是在我们学校的一个数学建模比赛中。那时候我们团队要用到一个函数来描述某种物理现象，就需要判断这个函数是否连续可微。当时我们花了好多时间，翻阅资料，做实验，最后终于确定了那个函数满足条件，心里那个爽啊。
不过，说到底，这两个概念的理论解释我还是不太懂，主要还是靠实践和例子来理解。这块儿，我敢保证，我踩过的坑不少，哈哈。