可导与连续和可微的关系

可导、连续和可微，这三者其实关系挺紧密的。
首先，连续是基础。一个函数在某点连续，意味着那点附近的变化不会导致函数值突然跳变。
然后，可微比连续更进一步。一个函数在某点可微，就是存在一个切线，可以完美地描述该点附近的变化趋势。
最后，可导和可微是等价的。，一个函数在某点可导，就意味着它在该点可微，反之亦然。
举个例子，我手上这个项目里，上周刚处理一个函数，它在某点连续，但不可微，所以那个点导数不存在。这说明了连续是可微的必要条件，但不是充分条件。
你自己看，这三者之间的逻辑关系，是不是很清晰呢？

去年夏天，我在咖啡馆里和一位老朋友聊天，他问我：“你知道函数的可导、连续和可微之间有什么关系吗？”我回想了一下，当时我们在一个公园的长椅上，天气炎热，我手边的咖啡已经凉了。
“嗯，可导函数一定是连续的，但是连续函数不一定可导。”我边说边用手指在空中划了一下，比划着函数图像的变化。
“那可微呢？”他问。
“可微是可导的另一种说法，不过它要求导数在每一点上都是连续的。”我一边回答，一边突然想到，我记得书上说过，如果一个函数在某一点可微，那么这个点的导数就是该函数在该点的微分。
“那连续、可导、可微，哪个要求更高？”他好奇地问。
“可微的要求最高，它不仅要求函数在某点可导，还要求导数在该点连续。”我回答，一边看着公园里的小朋友在草地上追逐嬉戏。
“那为什么可导的函数一定是连续的呢？”他接着问。
“因为导数的定义本身就是在连续的基础上引出来的。”我边说边喝了一口已经凉透的咖啡，感觉有点渴。
“那连续的函数就一定可导吗？”他继续追问。
“不一定，就像我刚才说的，有些连续的函数在某个点的导数不存在，比如说绝对值函数在x=0的点就不连续。”我回答，心里却在想，数学的世界真是复杂又有趣。
“那有没有什么简单的例子可以说明这三个概念的关系呢？”他问。
“当然有，比如y=x²，这个函数在R上连续，可导，而且处处可微。”我回答，心里暗自庆幸自己记得这么清楚。
“，原来如此。”他点了点头，然后我们继续聊起了其他话题。