连续可导可微可积的关系图

连续→可微→可导→可积
1. 连续性：函数在某点连续，即该点极限存在且等于函数值。

• 例如：f(x) = x^2 在 x=0 处连续。
  2. 可微性：函数在某点可微，意味着在该点存在导数。
• 例如：f(x) = x^3 在 x=0 处可微，导数为 3x^2。
  3. 可导性：函数在某区间内可导，意味着该区间内每一点都存在导数。
• 例如：f(x) = sin(x) 在 (-∞, ∞) 内可导。
  4. 可积性：函数在某区间内可积，意味着该区间内可以计算定积分。
• 例如：f(x) = 1/x 在 (0, 1) 内不可积，但在 (1, ∞) 内可积。
  注意：可积性不保证可导性，但可导性一定意味着连续性和可微性。
  你自己掂量。

连续可导可微可积的关系图】
1. 连续→可导：这就像说，你先得会跑步，才能跑得快。 2. 可导→可微：跑得快还不行，得知道怎么跑得快。 3. 可微→可积：知道怎么跑得快了，还得能跑得远。
【具体例子】

• 上周刚处理一个函数，连续、可导、可微、可积，四项全能。
  【你自己看】
• 这四项，哪个更重要？你自己判断。

连续 → 可微 → 可导 → 可积
- 连续：函数图像不间断。

• 可微：在某点处有切线，导数存在。
• 可导：在某区间内，导数处处存在。
• 可积：在某区间内，定积分存在。
  这就是坑：误以为可导必连续，实际连续是可导的必要非充分条件。
  实操提醒：检查函数是否连续，再判断其可微、可导、可积性。

可导 -> 可微 | | | | 可积 -> 可导