高数连续可导可微可积的关系

嘿，记得那年夏天，我在大学图书馆的角落里苦战高数，那时候正研究这连续、可导、可微、可积这四个概念的关系。我记得那天，我花了整整一下午，在白纸上画满了函数图像和导数曲线。
等等，我突然想到，那会儿我还算了一道题，说是在一个区间上，一个函数如果连续，那么它在这个区间上一定可导。但反过来，可导不一定连续，这个例子我记得是在某个数学竞赛的真题里看到的。不过，如果这个函数还满足局部有界，那它就一定是连续的。
再后来，我发现一个函数如果连续且可导，那么它一定可微，这个结论在解析几何课上老师就讲过。但是，可微并不一定可积，就像那个函数 f(x) = |x| 在 x = 0 点不可微，但它显然是可积的。
不过，有个事我还没完全想通，就是这四个概念之间的关系在复杂的函数上会怎样变化？比如说，一个函数在某个区间内连续，但在边界上不连续，那它在整个区间上还满足这些性质吗？这个问题得再好好琢磨琢磨。

连续→可导→可微→可积
例：函数f(x) = x²在R上连续，在R上可导，在R上可微，但在R上不可积。

连续可导必可微，连续可积不一定可导。
这就是坑，别信连续可积就一定可导。
实操提醒：检查函数的连续性、可导性和可积性时，分别验证这三个条件。