可微和可导和连续的关系

直接点】 可微、可导、连续，这仨关系不大。可微、可导是函数平滑的标志，连续是更基础的要求。
【大白话】 可微就像脸平滑，可导是能画个切线，连续就是没裂缝。
【举例说】 上周刚处理一个项目，函数可微就说明它平滑，可导就说明有切线，连续就是无缝连接。
【简单点】 可微和可导是数学术语，连续是更简单的条件。可微和可导都意味着函数平滑，但连续更强调没有中断。
【留白】 你自己看，这些概念在实际应用里怎么用？

哎呦，这问题，说起来有点复杂，我那时候也懵。可微、可导、连续，它们三个啊，就像是数学里的好朋友，各有各的特点。
先说连续，这就像是一条平滑的曲线，没有断点，没有跳跃，就像2022年某个城市的气温变化，从年初到年尾，温度变化是连续的，没有突然的冷热交替。
然后是可导，这就更讲究了。可导的意思是，这条曲线在某一点上，可以画出一个切线，这个切线代表了曲线在这一点的瞬时变化率。就像某个城市在2022年某个月的平均降雨量，可以计算出一个平均速度，这个速度就是可导的。
最后是可微，这个更高级。可微的意思是，曲线在某一点附近，任意小的区间内，都可以找到一个切线，这个切线能无限接近曲线。这就好比说，2022年某个城市的一笔大额交易，它的变化率是可微的，可以精确到每一分每一秒。
这三者之间的关系呢，一般来说，连续是基础，没有连续，就谈不上可导和可微。可导比连续更严格，但可微又比可导更严格。简单来说，连续是必须的，可导是可能的，可微则是最好的情况。
我后来才反应过来，可能我偏激了点，但数学这东西，就是这样，细节多了去了。

去年夏天，我在咖啡馆里和一位数学老师聊天，他讲了一个小故事。他说，有一次他教学生区分“可微”、“可导”和“连续”这三个概念，他用了一个简单的例子。
他说：“比如，我小时候喜欢去河边钓鱼，那河水就是‘连续’的，因为从上游到下游，水流是不断线的。但如果我要用鱼竿钓鱼，鱼竿的末端到水面的距离就是‘可导’的，因为你可以调节它的长度。至于‘可微’，那就像我钓鱼时，如果我发现鱼儿游得快，我会慢慢调整鱼竿，这样钓鱼的动作就是‘可微’的。”
听完这个故事，我突然想到，这些数学概念是不是就像生活中的各种小细节，它们之间既有联系，又有区别。那可微、可导和连续的关系，是不是就像鱼竿、水流和钓鱼动作之间的关系呢？等等，还有个事，我记得有次看到一篇论文，说在某些特定条件下，连续函数不一定可微，那这又是怎么回事呢？